خصائص المربع والمستطيل: الدرس الكامل مع تمارين موضوع أساسي في درس الأشكال الهندسية الرباعية. والصعوبة فيه لا تكمن في حفظ القوانين فقط، بل في التمييز بين الشكلين، وفهم خصائص الأضلاع والزوايا والأقطار، ثم اختيار قانون المحيط أو المساحة في المسألة المناسبة.
سنتعلم كيف نتعرف على المربع والمستطيل، ولماذا يعد كل مربع مستطيلا خاصا، وكيف نحسب المحيط والمساحة، ثم نطبق ذلك في تمارين متدرجة مع حلول مفصلة.
ما المربع وما المستطيل؟
المربع والمستطيل شكلان رباعيان، أي إن لكل واحد منهما أربعة أضلاع وأربع زوايا. لكن طريقة تساوي الأضلاع تختلف بينهما.
تعريف المستطيل
المستطيل شكل رباعي زواياه الأربع قائمة. وكل ضلعين متقابلين فيه متساويان ومتوازيان.
إذا كان طول مستطيل يساوي ٨ سم وعرضه يساوي ٥ سم، فإن له:
- ضلعين متقابلين طول كل واحد منهما ٨ سم.
- ضلعين متقابلين طول كل واحد منهما ٥ سم.
- أربع زوايا قائمة، قياس كل واحدة منها ٩٠ درجة.
تعريف المربع
المربع شكل رباعي أضلاعه الأربعة متساوية، وزواياه الأربع قائمة.
إذا كان طول ضلع مربع يساوي ٦ سم، فإن جميع أضلاعه تساوي ٦ سم، وقياس كل زاوية من زواياه يساوي ٩٠ درجة.
💡 تذكّر: يكفي في المربع أن نعرف طول ضلع واحد، لأن الأضلاع الأربعة متساوية. أما في المستطيل فنحتاج عادة إلى معرفة الطول والعرض.
خصائص المربع والمستطيل في جدول واحد
| الخاصية | المربع | المستطيل |
|---|---|---|
| عدد الأضلاع | أربعة أضلاع | أربعة أضلاع |
| الأضلاع المتساوية | الأضلاع الأربعة متساوية | كل ضلعين متقابلين متساويان |
| الأضلاع المتوازية | كل ضلعين متقابلين متوازيان | كل ضلعين متقابلين متوازيان |
| الزوايا | أربع زوايا قائمة | أربع زوايا قائمة |
| القطران | متساويان وينصف كل منهما الآخر | متساويان وينصف كل منهما الآخر |
| تعامد القطرين | القطران متعامدان | ليس بالضرورة أن يكونا متعامدين |
| تنصيف الزوايا بالقطرين | كل قطر ينصف زاويتين متقابلتين | لا ينصف القطر الزوايا عادة |
ما أوجه التشابه والفرق بين المربع والمستطيل؟
أوجه التشابه بين المربع والمستطيل
يشترك المربع والمستطيل في الخصائص الآتية:
- لكل منهما أربعة أضلاع.
- لكل منهما أربع زوايا قائمة.
- كل ضلعين متقابلين متوازيان.
- كل ضلعين متقابلين متساويان.
- لكل منهما قطران متساويان.
- ينصف كل قطر القطر الآخر، أي إن نقطة تقاطعهما تقسم كل واحد منهما إلى قسمين متساويين.
الفرق بين المربع والمستطيل
الفرق الأساسي يتعلق بالأضلاع:
- في المربع تكون الأضلاع الأربعة متساوية.
- في المستطيل يتساوى كل ضلعين متقابلين، وقد يكون الطول مختلفا عن العرض.
كما أن قطري المربع متعامدان، أي يصنعان عند تقاطعهما زوايا قائمة. أما قطرا المستطيل فهما متساويان وينصف أحدهما الآخر، لكنهما لا يكونان متعامدين في المستطيل العادي.
✅ قاعدة مهمة: كل مربع مستطيل، لأنه يملك أربع زوايا قائمة وكل ضلعين متقابلين فيه متساويان ومتوازيان. لكن ليس كل مستطيل مربعا، لأن أضلاع المستطيل الأربعة ليست متساوية بالضرورة.
مثلا، شكل أبعاده ٧ سم و٤ سم مستطيل وليس مربعا. أما شكل أبعاده ٥ سم و٥ سم وزواياه قائمة، فهو مربع، ويمكن اعتباره أيضا مستطيلا خاصا.
كيف نفهم أقطار المربع والمستطيل؟
القطر قطعة مستقيمة تصل بين رأسين غير متجاورين في الشكل. وللمربع قطران، كما أن للمستطيل قطرين.
خصائص أقطار المستطيل
- القطران متساويان في الطول.
- ينصف كل منهما الآخر.
- لا يكونان متعامدين عادة.
- لا ينصفان زوايا المستطيل عادة.
إذا كان طول قطر مستطيل يساوي ١٠ سم، فإن القطر الآخر يساوي أيضا ١٠ سم. وتكون المسافة من نقطة التقاطع إلى كل رأس على القطر مساوية لـ٥ سم.
خصائص أقطار المربع
- القطران متساويان.
- ينصف كل منهما الآخر.
- القطران متعامدان.
- كل قطر يقسم زاويتين قائمتين إلى زاويتين متساويتين، قياس كل واحدة منهما ٤٥ درجة.
إذا كان طول قطر مربع يساوي ٨ سم، فإن القطر الآخر يساوي ٨ سم، وكل نصف من أنصاف القطرين يساوي ٤ سم.
⚠️ انتبه: تساوي القطرين لا يكفي وحده للقول إن الشكل مربع؛ فالمستطيل أيضا له قطران متساويان. لإثبات أن الشكل مربع نحتاج إلى خصائص إضافية، مثل تساوي الأضلاع الأربعة ووجود أربع زوايا قائمة.
محيط المربع والمستطيل: ماذا نحسب بالضبط؟
المحيط هو طول الخط الذي يحيط بالشكل. لذلك نحسبه بجمع أطوال جميع الأضلاع، وتكون وحدته وحدة طول مثل السنتيمتر أو المتر.
قانون محيط المربع
لأن أضلاع المربع الأربعة متساوية، فإن:
محيط المربع = طول الضلع × ٤
مثال: مربع طول ضلعه ٧ سم.
- نحدد القانون: المحيط = طول الضلع × ٤.
- نعوض: المحيط = ٧ × ٤.
- نحسب: المحيط = ٢٨ سم.
قانون محيط المستطيل
للمستطيل طولان متساويان وعرضان متساويان، ولذلك:
محيط المستطيل = الطول + العرض + الطول + العرض
ويمكن كتابة القانون بطريقة أسهل:
محيط المستطيل = ٢ × مجموع الطول والعرض
مثال: مستطيل طوله ٩ سم وعرضه ٤ سم.
- نجمع الطول والعرض: ٩ + ٤ = ١٣.
- نضرب المجموع في ٢: ١٣ × ٢ = ٢٦.
- إذن محيط المستطيل يساوي ٢٦ سم.
والسبب في الضرب في ٢ هو وجود طولين وعرضين في المستطيل.
مساحة المربع والمستطيل: لماذا نضرب؟
المساحة هي مقدار السطح الموجود داخل الشكل. ويمكن تصورها بعدد المربعات الصغيرة التي تغطي ذلك السطح.
إذا كان مستطيل يتكون من ٦ صفوف، وفي كل صف ٤ مربعات، فإن عدد المربعات كلها هو ٦ × ٤، أي ٢٤ مربعا. لهذا نحسب المساحة بالضرب.
قانون مساحة المستطيل
مساحة المستطيل = الطول × العرض
مثال: مستطيل طوله ٨ سم وعرضه ٣ سم.
المساحة = ٨ × ٣ = ٢٤ سم مربعا.
قانون مساحة المربع
المربع مستطيل طوله يساوي عرضه، لذلك:
مساحة المربع = طول الضلع × طول الضلع
مثال: مربع طول ضلعه ٥ سم.
المساحة = ٥ × ٥ = ٢٥ سم مربعا.
⚠️ فرق ضروري: نكتب وحدة المحيط بوحدة طول، مثل ٢٠ سم. أما المساحة فنكتبها بوحدة مربعة، مثل ٢٠ سم مربعا. كتابة المساحة بالسنتيمتر فقط خطأ.
كيف نختار بين قانون المحيط وقانون المساحة؟
قبل إجراء أي عملية، اقرأ المطلوب في المسألة:
- إذا كان السؤال عن طول السياج أو الشريط أو الإطار المحيط بالشكل، فنحسب المحيط.
- إذا كان السؤال عن سطح أرض أو مساحة ورقة أو عدد البلاطات اللازمة لتغطية سطح، فنحسب المساحة.
مثال: حديقة مستطيلة طولها ١٢ مترا وعرضها ٧ أمتار.
- لحساب طول السياج المحيط بها: نستعمل المحيط.
- لحساب مقدار العشب اللازم لتغطيتها: نستعمل المساحة.
طول السياج = ٢ × مجموع ١٢ و٧ = ٢ × ١٩ = ٣٨ مترا.
مساحة الحديقة = ١٢ × ٧ = ٨٤ مترا مربعا.
حساب طول ضلع أو بعد مجهول
في بعض التمارين لا يُطلب المحيط أو المساحة، بل يُعطى المحيط أو المساحة ويُطلب طول ضلع أو عرض.
حساب ضلع المربع انطلاقا من محيطه
بما أن محيط المربع يساوي طول الضلع مضروبا في ٤، فإن:
طول ضلع المربع = المحيط ÷ ٤
مثال: محيط مربع يساوي ٣٦ سم.
طول الضلع = ٣٦ ÷ ٤ = ٩ سم.
للتحقق: ٩ × ٤ = ٣٦ سم، وهو المحيط المعطى.
حساب عرض المستطيل انطلاقا من محيطه وطوله
نعلم أن نصف محيط المستطيل يساوي مجموع الطول والعرض. لذلك نتبع الخطوات الآتية:
- نقسم المحيط على ٢ للحصول على مجموع الطول والعرض.
- نطرح الطول من نصف المحيط.
- الناتج هو العرض.
العرض = المحيط ÷ ٢ − الطول
مثال: محيط مستطيل يساوي ٣٠ سم، وطوله ٩ سم. احسب عرضه.
- نصف المحيط = ٣٠ ÷ ٢ = ١٥ سم.
- العرض = ١٥ − ٩ = ٦ سم.
- إذن عرض المستطيل يساوي ٦ سم.
التحقق: ٢ × مجموع ٩ و٦ = ٢ × ١٥ = ٣٠ سم.
حساب عرض المستطيل انطلاقا من مساحته وطوله
بما أن المساحة تساوي الطول مضروبا في العرض، فإن:
العرض = المساحة ÷ الطول
مثال: مساحة مستطيل تساوي ٤٨ سم مربعا، وطوله ٨ سم.
العرض = ٤٨ ÷ ٨ = ٦ سم.
التحقق: ٨ × ٦ = ٤٨ سم مربعا.
أخطاء تكشف أن القاعدة لم تُطبَّق بطريقة صحيحة
الخلط بين المحيط والمساحة
قال تلميذ إن مساحة مستطيل طوله ٧ سم وعرضه ٣ سم هي: ٧ + ٣ + ٧ + ٣ = ٢٠ سم.
هذا الحساب يعطي المحيط وليس المساحة. التصحيح هو:
المساحة = ٧ × ٣ = ٢١ سم مربعا.
نسيان تكرار الطول والعرض في المحيط
إذا كان طول المستطيل ١٠ سم وعرضه ٤ سم، فلا يساوي محيطه ١٤ سم؛ لأن ١٠ + ٤ يمثل نصف المحيط فقط.
المحيط الصحيح = ٢ × مجموع ١٠ و٤ = ٢٨ سم.
استعمال قانون المربع مع مستطيل عادي
لا يجوز حساب مساحة مستطيل طوله ٨ سم وعرضه ٥ سم بالطريقة ٨ × ٨؛ لأن الطول لا يساوي العرض. الحساب الصحيح هو ٨ × ٥ = ٤٠ سم مربعا.
القول إن كل مستطيل مربع
وجود أربع زوايا قائمة يجعل الشكل مستطيلا، لكنه لا يجعله مربعا إلا إذا كانت أضلاعه الأربعة متساوية أيضا.
كتابة وحدة غير مناسبة
- محيط مربع يساوي ٢٤ سم.
- مساحة مربع تساوي ٣٦ سم مربعا.
إذا وجدت وحدة مربعة في جواب يتعلق بالسياج أو الإطار، فراجع الحل؛ لأن المطلوب غالبا هو المحيط.
تمارين حول المربع والمستطيل مع الحلول
التمرين الأول: التعرف على الشكل من خصائصه
حدد الشكل المناسب في كل حالة:
- شكل رباعي له أربع زوايا قائمة، وطوله ٩ سم وعرضه ٥ سم.
- شكل رباعي أضلاعه الأربعة متساوية وزواياه الأربع قائمة.
- شكل قطراه متساويان وينصف أحدهما الآخر، لكن أضلاعه الأربعة ليست متساوية.
الحل:
- الشكل مستطيل؛ لأن له أربع زوايا قائمة، وطوله مختلف عن عرضه.
- الشكل مربع؛ لأن أضلاعه الأربعة متساوية وزواياه قائمة.
- الشكل مستطيل وليس مربعا؛ لأن القطرين متساويان، لكن الأضلاع الأربعة ليست متساوية.
التمرين الثاني: محيط ومساحة مربع
قطعة ورق مربعة طول ضلعها ١١ سم. احسب محيطها ومساحتها.
الحل:
المحيط = ١١ × ٤ = ٤٤ سم.
المساحة = ١١ × ١١ = ١٢١ سم مربعا.
التمرين الثالث: محيط ومساحة مستطيل
لوحة مستطيلة طولها ١٥ سم وعرضها ٦ سم. احسب محيطها ومساحتها.
الحل:
المحيط = ٢ × مجموع ١٥ و٦.
المحيط = ٢ × ٢١ = ٤٢ سم.
المساحة = ١٥ × ٦ = ٩٠ سم مربعا.
التمرين الرابع: حساب عرض مستطيل
محيط ملعب مستطيل يساوي ٥٤ مترا، وطوله ١٧ مترا. احسب عرضه.
الحل:
- نصف المحيط = ٥٤ ÷ ٢ = ٢٧ مترا.
- العرض = ٢٧ − ١٧ = ١٠ أمتار.
إذن عرض الملعب يساوي ١٠ أمتار.
التحقق: ٢ × مجموع ١٧ و١٠ = ٢ × ٢٧ = ٥٤ مترا.
التمرين الخامس: هل الشكل مربع؟
مستطيل طوله ٨ سم ومحيطه ٣٢ سم. هل هو مربع؟ علل جوابك.
الحل:
- نحسب نصف المحيط: ٣٢ ÷ ٢ = ١٦ سم.
- نعلم أن الطول + العرض = ١٦.
- العرض = ١٦ − ٨ = ٨ سم.
- الطول يساوي العرض، وكلاهما يساوي ٨ سم.
إذن هذا المستطيل مربع أيضا، لأن أضلاعه الأربعة متساوية وزواياه قائمة.
التمرين السادس: مسألة تحتاج إلى اختيار القانون الصحيح
يريد فلاح إحاطة قطعة أرض مستطيلة طولها ٢٠ مترا وعرضها ١٢ مترا بسياج، ثم زرع سطحها كاملا. احسب طول السياج ومساحة الأرض.
الحل:
السياج يحيط بالأرض، لذلك نحسب المحيط:
طول السياج = ٢ × مجموع ٢٠ و١٢ = ٢ × ٣٢ = ٦٤ مترا.
الزرع يغطي السطح الداخلي، لذلك نحسب المساحة:
مساحة الأرض = ٢٠ × ١٢ = ٢٤٠ مترا مربعا.
تحقق من فهمك قبل الانتقال إلى درس آخر
اختر جوابا واحدا صحيحا لكل سؤال، ثم قارنه بمفتاح التصحيح.
-
مستطيل طوله ٧ سم وعرضه ٤ سم. ما محيطه؟
- ١١ سم
- ٢٢ سم
- ٢٨ سم
-
ما الخاصية التي تميز المربع عن المستطيل العادي؟
- له أربع زوايا قائمة
- له قطران متساويان
- أضلاعه الأربعة متساوية
-
مساحة مربع طول ضلعه ٩ سم تساوي:
- ٣٦ سم مربعا
- ٨١ سم مربعا
- ١٨ سم مربعا
-
محيط مستطيل يساوي ٤٠ سم وطوله ١٣ سم. ما عرضه؟
- ٧ سم
- ١٤ سم
- ٢٧ سم
-
أي عبارة صحيحة؟
- كل مستطيل مربع
- كل مربع مستطيل
- قطرا المستطيل متعامدان دائما
مفتاح التصحيح
- ٢٢ سم، لأن المحيط = ٢ × مجموع ٧ و٤.
- أضلاعه الأربعة متساوية.
- ٨١ سم مربعا، لأن المساحة = ٩ × ٩.
- ٧ سم، لأن نصف المحيط يساوي ٢٠ سم، والعرض = ٢٠ − ١٣.
- كل مربع مستطيل.
ما الذي ينبغي الاحتفاظ به من هذا الدرس؟
- المربع: أربعة أضلاع متساوية وأربع زوايا قائمة.
- المستطيل: كل ضلعين متقابلين متساويان، وله أربع زوايا قائمة.
- محيط المربع: طول الضلع × ٤.
- مساحة المربع: طول الضلع × طول الضلع.
- محيط المستطيل: ٢ × مجموع الطول والعرض.
- مساحة المستطيل: الطول × العرض.
- قطرا المربع والمستطيل متساويان وينصف كل منهما الآخر.
- قطرا المربع متعامدان، أما قطرا المستطيل فلا يكونان متعامدين عادة.
- كل مربع مستطيل، لكن ليس كل مستطيل مربعا.
- المحيط يقاس بوحدة طول، والمساحة تقاس بوحدة مربعة.
لترسيخ هذه المفاهيم، تدرب على رسم الأشكال باستعمال المسطرة، ودوّن أطوال الأضلاع قبل اختيار القانون. ويمكنك متابعة موارد إضافية ضمن دروس المستوى الابتدائي بما يناسب مستواك الدراسي.
